數(shù)學旅行家

引言
第一章 我們是如何計數(shù)的
詞匯……… 005
自然數(shù)……… 006
計數(shù)的特征……… 008
大腦是如何計數(shù)的……… 012
我們是如何學會計數(shù)的……… 015
 
第二章 早期的計數(shù)
我們的遠祖……… 018
手指和身體計數(shù)……… 025
數(shù)詞計數(shù)……… 028
作為修飾語的數(shù)……… 031
農(nóng)耕時代之前的數(shù)……… 032
小結……… 035
 
第三章 其他物種的計數(shù)行為
它們究竟有多聰明……… 037
特殊案例……… 039
直接感知理解……… 041
它們能否學會計數(shù)……… 045
 
第四章 古代的數(shù)字
農(nóng)業(yè)的誕生……… 050
蘇美爾人發(fā)明文字……… 056
蘇美爾人的數(shù)學……… 060
杰出的古巴比倫人……… 062
古埃及人……… 067
數(shù)、計算和問題……… 073
我們已走了多遠……… 077
 
第五章 中國與新大陸的數(shù)
古代中國……… 078
中國的數(shù)系……… 079
中國數(shù)學……… 082
新大陸的數(shù)學……… 085
瑪雅文明……… 086
印加帝國……… 092
獨立的發(fā)現(xiàn)……… 094
畢達哥拉斯學派的貢獻……… 113
不可通約……… 116
亞歷山大時期……… 119
 
第六章 天堂的問題
早期希臘文明……… 096
古希臘數(shù)系……… 098
哲學、科學和數(shù)學的誕生……… 102
偉大的畢達哥拉斯……… 105
畢達哥拉斯學派關于數(shù)的概念……… 107
 
第七章 負數(shù)
數(shù)線……… 121
古印度的數(shù)……… 124
外部影響……… 126
印度 - 阿拉伯數(shù)系……… 127
數(shù)系向歐洲進發(fā)……… 129
回到數(shù)線……… 133
 
第八章 直面無窮
不同類型的無窮……… 134
無窮大量……… 136
關于無窮大的見解……… 138
無限可分性……… 141
將無窮大變成無窮小……… 145
陷入泥潭……… 146
窮竭法與限制……… 148
 
第九章 狄德金分割
無理數(shù)……… 159
歐多克索斯的比例……… 163
美妙的狄德金分割……… 167
小數(shù)系統(tǒng)的趣味……… 171
 
第十章 π 的故事：超越數(shù)
其他種類的方程式……… 179
定義難以捉摸的……… 181
審視 π 和 e……… 183
究竟有多少超越數(shù)……… 186
才華卓絕的格奧爾格·康托爾……… 192
代數(shù)數(shù)可數(shù)嗎……… 193
有多少超越數(shù)……… 195
第二個證明……… 199
? 0 與 ?1 之間還存在什么……… 201
 
第十一章 王國的擴展：復數(shù)
解析幾何的誕生……… 205
高斯定位復數(shù)……… 208
有多少復數(shù)……… 213
哈密爾頓的四元數(shù)……… 215
 
第十二章 超乎想象的大數(shù)：超限數(shù)
定義超限數(shù)……… 219
一些超乎想象的大數(shù)……… 222
康托爾為超限數(shù)而做的努力……… 226
 
第十三章 天才計算家
普通人中的計算家……… 231
質數(shù)與合數(shù)……… 234
約翰和邁克爾的案例……… 237
這些究竟意味著什么……… 240
未來的計算……… 243
 
第十四章 數(shù)到底意味著什么
明確問題的實質……… 245
歷史的進程……… 251
我們所說的存在究竟是何含義……… 252
進化的角度……… 259
 
第十五章 數(shù)的過去、現(xiàn)在和未來
進入 20 世紀……… 262
悖論……… 264
跨越 20 世紀……… 266
機器數(shù)學……… 267
凝視上帝的眼睛……… 269
費馬大定理……… 276
我們還能走多遠……… 277
 
注釋……… 279
參考文獻……… 287