正規(guī)族理論及其新研究

目錄
前言
第1章 基礎知識 1
1.1 全純函數(shù)列的一致收斂. 1
1.1.1 歐氏距離及復數(shù)列的收斂性 1
1.1.2 函數(shù)列的一致收斂和內閉一致收斂 1
1.1.3 內閉一致收斂連續(xù)函數(shù)列的性質 3
1.1.4 內閉一致收斂全純函數(shù)列的性質 4
1.1.5 函數(shù)列的一致緊發(fā)散 5
1.2 亞純函數(shù)列的一致收斂. 5
1.2.1 球面距離 6
1.2.2 球面距離意義下數(shù)列的收斂性 7
1.2.3 球面距離意義下函數(shù)列一致收斂的定義及 Cauchy 準則 7
1.2.4 按球面距離一致收斂連續(xù)函數(shù)列的性質. 8
1.2.5 按球面距離一致收斂亞純函數(shù)列的性質 11
1.2.6 一個注記 16
1.3 亞純函數(shù)正規(guī)族的基本概念 17
1.3.1 定義及基本性質 17
1.3.2 等度連續(xù)函數(shù)族 18
1.3.3 內閉一致有界函數(shù)族與 Montel 定則 19
1.3.4 球面導數(shù)與 Marty 定則 20
第2章 亞純函數(shù)值分布理論簡介 23
2.1 Poisson-Jensen 公式 23
2.2 Nevanlinna 特征函數(shù) 26
2.3 Ahlfors-Shimizu 特征函數(shù) 28
2.4 Nevanlinna 基本定理 31
2.5 對數(shù)導數(shù)引理. 35
2.6 Milloux 不等式與 Hayman 不等式 48
第3章 Bloch 原理 54
3.1 Zalcman 引理與 Zalcman 定則 54
3.1.1 Zalcman 引理 54
3.1.2 Zalcman 定則 56
3.1.3 顧永興定則的簡化證明 57
3.2 Zalcman 引理的推廣. 61
3.3 Bloch 原理的反例 69
第4章 Ahlfors 定理和 Bergweiler-Eremenko 定理 70
4.1 Picard 定理、Nevanlinna 重值定理和 Ahlfors 五島定理 70
4.1.1 Picard 定理和 Ahlfors 三島定理 70
4.1.2 Nevanlinna 五重值定理和 Ahlfors 五島定理 71
4.1.3 Nevanlinna 重值定理和 Ahlfors 島嶼定理 72
4.1.4 類多項式的 Ahlfors 定理 73
4.2 有理函數(shù)的若干性質 74
4.3 有界型超越亞純函數(shù)的一個性質 79
4.4 Bergweiler-Eremenko 定理 81
4.5 Hayman 定理的推廣 (I). 86
4.6 Hayman 定理的推廣 (II). 89
第5章 Hayman 猜想的涉及重值的推廣 93
5.1 Hayman 猜想. 93
5.2 Hayman 猜想的推廣: 函數(shù)具有重值. 93
5.3 Hayman 猜想的推廣: 導數(shù)具有非零重值 95
5.4 Hayman 猜想的推廣: 導數(shù) 1 值點離散分布. 98
5.4.1 引理. 99
5.4.2 定理 5.4.1 的證明 102
第6章 正規(guī)族與例外函數(shù)或重函數(shù) 103
6.1 若干輔助引理 103
6.2 Montel 定則的推廣: 例外函數(shù) 106
6.3 Montel 定則的推廣: 重值與重函數(shù) 110
6.4 顧永興定則的推廣 (I). 112
6.5 顧永興定則的推廣 (II) 117
6.5.1 關于有理函數(shù)的一個引理 119
6.5.2 例外函數(shù)具有零點的正規(guī)族 129
6.5.3 例外函數(shù)具有極點的正規(guī)族 140
第7章 正規(guī)族與分擔值或分擔函數(shù) 149
7.1 與導函數(shù)具有分擔值的正規(guī)族. 149
7.1.1 Schwick 定理及相關結果 149
7.1.2 與導數(shù)分擔一個三元數(shù)集的正規(guī)族 153
7.1.3 與導數(shù)分擔一個二元數(shù)集的正規(guī)族 155
7.2 函數(shù)與導數(shù)、導數(shù)與導數(shù)具有分擔值 161
7.2.1 函數(shù)與導數(shù)、導數(shù)與導數(shù)的分擔值相同 161
7.2.2 若干引理. 162
7.2.3 定理 7.2.4—定理 7.2.6 的證明. 177
7.2.4 函數(shù)與導數(shù)、導數(shù)與導數(shù)的分擔值相異 178
7.3 同族函數(shù)具有分擔值. 181
7.4 異族函數(shù)具有分擔值. 183
7.5 涉及分擔函數(shù)的正規(guī)族 193
第8章 亞純函數(shù)擬正規(guī)族 203
8.1 基本概念與基本性質. 203
8.2 Montel 擬正規(guī)定則 205
8.3 涉及導數(shù)的擬正規(guī)定則 206
8.3.1 若干引理. 207
8.3.2 定理 8.3.2 的證明 217
8.4 涉及對數(shù)導數(shù)的正規(guī)與擬正規(guī)定則 220
8.4.1 定理 8.4.3 的證明 223
8.4.2 定理 8.4.4 的證明 228
第9章 正規(guī)族與迭代函數(shù)不動點 236
9.1 與迭代函數(shù)不動點相關的全純函數(shù)正規(guī)族 236
9.1.1 楊樂問題的解答 236
9.1.2 沒有周期點的全純函數(shù)族的正規(guī)性與擬正規(guī)性 239
9.1.3 沒有排斥周期點的全純函數(shù)族的正規(guī)性與擬正規(guī)性 242
9.2 與迭代函數(shù)不動點相關的亞純函數(shù)正規(guī)族 246
9.3 與迭代函數(shù)排斥不動點相關的亞純函數(shù)正規(guī)族. 249
9.3.1 定理 9.3.1 的證明 249
9.3.2 問題 9.3.1 的進一步研究 255
第10章 共形度量與廣義正規(guī)族 257
10.1 基礎知識 257
10.1.1 距離空間基礎知識 257
10.1.2 共形半度量與度量 258
10.2 連續(xù)函數(shù)空間 C[Δ， Ω] 260
10.2.1 C[Δ， Ω] 上的度量. 260
10.2.2 相對緊性和 Arzelà-Ascoli 定理 262
10.2.3 相對緊的 M.bius 映照族 263
10.3 一致 Lipschitz 函數(shù)族 266
10.3.1 一致 Lipschitz 條件 266
10.3.2 Lipschitz 函數(shù)族的相對緊性 269
10.4 正規(guī)族定義的推廣 270
10.4.1 相對于大配域的 Lipschitz 條件. 271
10.4.2 正規(guī)族定義的推廣 274
10.4.3 Escher 條件 275
10.4.4 Lipschitz 映照正規(guī)族 276
10.4.5 注記 278
第11章 正規(guī)族理論的應用 279
11.1 在復解析動力系統(tǒng)中的應用 279
11.2 在復微分方程中的應用 281
11.3 在亞純函數(shù)模分布中的應用 283
11.4 在整函數(shù)與亞純函數(shù)唯一性中的應用. 284
11.4.1 在整函數(shù)唯一性中的應用 284
11.4.2 在亞純函數(shù)唯一性中的應用 290
第12章 球面密度與 Marty 型常數(shù). 296
12.1 Montel 定則對應的 Marty 型常數(shù) 296
12.1.1 球面密度. 296
12.1.2 球面反射原理 299
12.1.3 球面密度的整體*小值 300
12.1.4 Marty 常數(shù) M0 的值 303
12.2 顧永興定則對應的 Marty 型常數(shù) 305
參考文獻 306
人名索引 315
名詞索引 316