數(shù)學(xué)物理方法與仿真（第2版）

第一篇　復(fù)變函數(shù)論
第1章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)
1.1 復(fù)數(shù)概念及其運(yùn)算
1.1.1 復(fù)數(shù)概念
1.1.2 復(fù)數(shù)的基本代數(shù)運(yùn)算
1.2 復(fù)數(shù)的表示
1.2.1 復(fù)數(shù)的幾何表示
1.2.2 復(fù)數(shù)的三角表示
1.2.3 復(fù)數(shù)的指數(shù)表示
1.2.4 共軛復(fù)數(shù)
1.2.5 復(fù)球面、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)
1.3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根
1.3.1 復(fù)數(shù)的乘冪
1.3.2 復(fù)數(shù)的方根
1.3.3 實(shí)踐編程：正17邊形的幾何作圖法
1.4 區(qū)域
1.4.1 基本概念
1.4.2 區(qū)域的判斷方法及實(shí)例分析
1.5 復(fù)變函數(shù)
1.5.1 復(fù)變函數(shù)概念
1.5.2 復(fù)變函數(shù)的幾何意義---映射
1.6 復(fù)變函數(shù)的極限
1.6.1 復(fù)變函數(shù)極限概念
1.6.2 復(fù)變函數(shù)極限的基本定理
1.7 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)
1.7.1 復(fù)變函數(shù)連續(xù)的概念
1.7.2 復(fù)變函數(shù)連續(xù)的基本定理
1.8 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第2章 解析函數(shù)
2.1 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分
2.1.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
2.1.2 復(fù)變函數(shù)的微分概念
2.1.3 可導(dǎo)的必要條件
2.1.4 可導(dǎo)的充分必要條件
2.1.5 求導(dǎo)法則
2.1.6 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
2.2 解析函數(shù)
2.2.1 解析函數(shù)的概念
2.2.2 解析函數(shù)的法則
2.2.3 函數(shù)解析的充分必要條件
2.2.4 解析函數(shù)的幾何意義（映射的保角性）
2.3 初等解析函數(shù)
2.3.1 指數(shù)函數(shù)（單值函數(shù)）
2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)---指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)（多值函數(shù)）
2.3.3 三角函數(shù)（單值函數(shù)）
2.3.4 反三角函數(shù)（多值函數(shù)）
2.3.5 雙曲函數(shù)（單值函數(shù)）
2.3.6 反雙曲函數(shù)（多值函數(shù)）
2.3.7 整冪函數(shù)ｚｎ（單值函數(shù)）
2.3.8 一般冪函數(shù)與根式函數(shù)ｗ＝ｎ槡ｚ（多值函數(shù)）
2.3.9 多值函數(shù)的基本概念
2.4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系
2.4.1 調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念
2.4.2 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系
2.4.3 解析函數(shù)的構(gòu)建方法
2.5 解析函數(shù)的物理意義---平面矢量場
2.5.1 用解析函數(shù)表述平面矢量場
2.5.2 靜電場的復(fù)勢
2.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第3章 復(fù)變函數(shù)的積分
3.1 復(fù)變函數(shù)的積分
3.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念
3.1.2 復(fù)積分存在的條件及計(jì)算方法
3.1.3 復(fù)積分的基本性質(zhì)
3.1.4 復(fù)積分的計(jì)算典型實(shí)例
3.1.5 復(fù)變函數(shù)環(huán)路積分的物理意義
3.2 柯西積分定理及其應(yīng)用
3.2.1 柯西積分定理
3.2.2 不定積分
3.2.3 典型應(yīng)用實(shí)例
3.2.4 柯西積分定理（柯西古薩定理）的物理意義
3.3 基本定理的推廣---復(fù)合閉路定理
3.4 柯西積分公式
3.4.1 有界區(qū)域的單連通柯西積分公式
3.4.2 有界區(qū)域的復(fù)連通柯西積分公式
3.4.3 無界區(qū)域的柯西積分公式
3.5 柯西積分公式的幾個(gè)重要推論
3.5.1 解析函數(shù)的無限次可微性（高階導(dǎo)數(shù)公式）
3.5.2 解析函數(shù)的平均值公式
3.5.3 柯西不等式
3.5.4 劉維爾定理
3.5.5 莫勒納定理
3.5.6 最大模原理
3.5.7 代數(shù)基本定理
3.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第4章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示
4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念
4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念
4.1.2 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斷準(zhǔn)則和定理
4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
4.3 冪級(jí)數(shù)
4.3.1 冪級(jí)數(shù)概念
4.3.2 收斂圓與收斂半徑
4.3.3 收斂半徑的求法
4.4 解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式
4.4.1 泰勒級(jí)數(shù)
4.4.2 將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法
4.5 羅朗級(jí)數(shù)及展開方法
4.5.1 羅朗級(jí)數(shù)
4.5.2 羅朗級(jí)數(shù)展開方法實(shí)例
4.5.3 用級(jí)數(shù)展開法計(jì)算閉合環(huán)路
積分
4.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第5章 留數(shù)定理
5.1 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)
5.1.1 孤立奇點(diǎn)概念
5.1.2 孤立奇點(diǎn)的分類及其判斷定理
5.2 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)
5.3 留數(shù)概念
5.4 留數(shù)定理與留數(shù)和定理
5.5 留數(shù)的計(jì)算方法
5.5.1 有限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算方法
5.5.2 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算方法
5.6 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分
5.6.1 ∫2π0 Ｒ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）ｄθ型積分
5.6.2 ∫＋∞－∞Ｐ（ｘ） Ｑ（ｘ）ｄｘ型積分
5.6.3 ∫＋∞－∞ ｆ（ｘ）ｅｉａｘｄｘ（ａ＞0）型積分
5.6.4 其他類型（積分路徑上有奇點(diǎn)）的
積分計(jì)算舉例
5.7 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第6章 保角映射
6.1 保角映射的概念
6.2 分式線性映射
6.2.1 分式線性映射的概念
6.2.2 兩種基本映射
6.2.3 分式線性映射的性質(zhì)
6.2.4 分式線性映射的確定及應(yīng)用
6.2.5 三類典型的分式線性映射
6.3 幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射
6.3.1 冪函數(shù)映射
6.3.2 指數(shù)函數(shù)ｗ＝ｅｚ映射
6.3.3 儒可夫斯基函數(shù)映射
6.4 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第二篇　數(shù)學(xué)物理議程
第7章 數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問題
7.1 數(shù)學(xué)建模---波動(dòng)方程類型的建立
7.1.1 波動(dòng)方程的建立
7.1.2 波動(dòng)方程的定解條件
7.2 數(shù)學(xué)建模---熱傳導(dǎo)方程類型的建立
7.2.1 數(shù)學(xué)物理方程---熱傳導(dǎo)類型方程的建立
7.2.2 熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件
7.3 數(shù)學(xué)建模---穩(wěn)定場方程類型的建立
7.3.1 穩(wěn)定場方程類型的建立
7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件
7.4 數(shù)學(xué)物理定解理論
7.4.1 定解條件和定解問題的提法
7.4.2 數(shù)學(xué)物理定解問題的適定性
7.4.3 數(shù)學(xué)物理定解問題的求解方法
7.5 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第8章 二階線性偏微分方程的分類
8.1 基本概念
8.2 數(shù)學(xué)物理方程的分類
8.3 二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化
8.4 二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡
8.5 線性偏微分方程解的特征
8.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第9章 行波法與達(dá)朗貝爾公式
9.1 二階線性偏微分方程的通解
9.2 二階線性偏微分方程的行波解
9.3 達(dá)朗貝爾公式
9.3.1 一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式
9.3.2 達(dá)朗貝爾公式的物理意義
9.4 達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用
9.4.1 齊次偏微分方程求解
9.4.2 非齊次偏微分方程的求解
9.5 定解問題的適定性驗(yàn)證
9.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第10章 分離變量法
10.1 分離變量理論
10.1.1 偏微分方程變量分離及條件
10.1.2 邊界條件可實(shí)施變量分離的條件
10.2 直角坐標(biāo)系下的分離變量法
10.2.1 分離變量法介紹
10.2.2 解的物理意義
10.2.3 三維形式的直角坐標(biāo)分離變量
10.2.4 直角坐標(biāo)系分離變量例題分析
10.3 二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的分離變量法
10.4 球坐標(biāo)系下的分離變量法
10.4.1 拉普拉斯方程Δｕ＝0的分離變量（與時(shí)間無關(guān)）
10.4.2 與時(shí)間有關(guān)的方程的分離變量
10.4.3 亥姆霍茲方程的分離變量
10.5 柱坐標(biāo)系下的分離變量
10.5.1 與時(shí)間無關(guān)的拉普拉斯方程分離變量
10.5.2 與時(shí)間相關(guān)的方程的分離變量
10.6 非齊次二階線性偏微分方程的解法
10.6.1 泊松方程非齊次方程的特解法
10.6.2 非齊次偏微分方程的傅里葉級(jí)數(shù)解法
10.7 非齊次邊界條件的處理
10.8 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第11章 冪級(jí)數(shù)解法---本征值問題
11.1 二階常微分方程的冪級(jí)數(shù)解法
11.1.1 冪級(jí)數(shù)解法理論概述
11.1.2 常點(diǎn)鄰域上的冪級(jí)數(shù)解法（勒讓德方程的求解）
11.1.3 奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法（貝塞爾方程的求解）
11.2 施圖姆劉維爾本征值
11.2.1 施圖姆劉維爾本征值問題
11.2.2 施圖姆劉維爾本征值問題的性質(zhì)
11.2.3 廣義傅里葉級(jí)數(shù)
11.2.4 復(fù)數(shù)的本征函數(shù)族
11.2.5 希爾伯特空間矢量分解
11.3 綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第12章 格林函數(shù)法
12.1 格林公式
12.2 解泊松方程的格林函數(shù)法
12.3 無界空間的格林函數(shù)基本解
12.3.1 三維球?qū)ΨQ情形
12.3.2 二維軸對(duì)稱情形
12.4 用電像法確定格林函數(shù)
12.4.1 上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建方法
12.4.2 上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題
12.4.3 圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建
12.4.4 球形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建
12.5 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第13章 積分變換法求解定解問題
13.1 傅里葉變換
13.1.1 傅里葉變換
13.1.2 廣義傅里葉變換
13.1.3 傅里葉變換的基本性質(zhì)
13.2 拉普拉斯變換
13.2.1 拉普拉斯變換
13.2.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)
13.2.3 拉普拉斯變換的反演
13.3 傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問題
13.3.1 弦振動(dòng)問題
13.3.2 熱傳導(dǎo)問題
13.3.3 穩(wěn)定場問題
13.4 拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題
13.4.1 無界區(qū)域的問題
13.4.2 半無界區(qū)域的問題
小結(jié)
習(xí)題
第14章 保角變換法求解定解問題
14.1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關(guān)系
14.2 保角變換法求解定解問題典型實(shí)例
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程
第15章 數(shù)學(xué)物理方程綜述
15.1 線性偏微分方程解法綜述
15.2 非線性偏微分方程
15.2.1 孤立波
15.2.2 沖擊波
小結(jié)
第二篇綜合測試題
第三篇　特殊函數(shù)
第16章 勒讓德多項(xiàng)式---球函數(shù)
16.1 勒讓德方程及其解的表示
16.1.1 勒讓德方程、勒讓德多項(xiàng)式
16.1.2 勒讓德多項(xiàng)式的表示
16.2 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)及其應(yīng)用
16.2.1 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)
16.2.2 勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用（廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開）
16.3 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)（母函數(shù)）
16.3.1 勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)的定義
16.3.2 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式
16.4 連帶勒讓德函數(shù)
16.4.1 連帶勒讓德函數(shù)的定義
16.4.2 連帶勒讓德函數(shù)的微分表示
16.4.3 連帶勒讓德函數(shù)的積分表示
16.4.4 連帶勒讓德函數(shù)的正交關(guān)系與模的公式
16.4.5 連帶勒讓德函數(shù)---廣義傅里葉級(jí)數(shù)
16.4.6 連帶勒讓德函數(shù)的遞推公式
16.5 球函數(shù)
16.5.1 球函數(shù)的方程及其解
16.5.2 球函數(shù)的正交關(guān)系和模的公式
16.5.3 球面上函數(shù)的廣義傅里葉級(jí)數(shù)
16.5.4 拉普拉斯方程的非軸對(duì)稱定解問題
16.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第17章 貝塞爾函數(shù)
17.1 貝塞爾方程及其解
17.1.1 貝塞爾方程
17.1.2 貝塞爾方程的解
17.2 三類貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì)
17.2.1 第一類貝塞爾函數(shù)
17.2.2 第二類貝塞爾函數(shù)
17.2.3 第三類貝塞爾函數(shù)
17.3 貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)
17.3.1 貝塞爾函數(shù)的遞推公式
17.3.2 貝塞爾函數(shù)與本征值問題
17.3.3 貝塞爾函數(shù)的正交性和模
17.3.4 廣義傅里葉貝塞爾級(jí)數(shù)
17.3.5 貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)（生成函數(shù)）
17.4 虛宗量貝塞爾方程
17.4.1 虛宗量貝塞爾方程的解
17.4.2 第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)
17.4.3 第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)
17.5 球貝塞爾方程
17.5.1 球貝塞爾方程
17.5.2 球貝塞爾方程的解
17.5.3 球貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示
17.5.4 球貝塞爾函數(shù)的遞推公式
17.5.5 球貝塞爾函數(shù)的初等函數(shù)表示式
17.5.6 球形區(qū)域內(nèi)的球貝塞爾
方程的本征值問題
17.6 典型綜合實(shí)例
小結(jié)
習(xí)題
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第三篇綜合測試題
第四篇　計(jì)算機(jī)仿真
第18章 計(jì)算機(jī)仿真在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用
18.1 復(fù)數(shù)運(yùn)算和復(fù)變函數(shù)的圖形
18.1.1 復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算
18.1.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
18.1.3 復(fù)變函數(shù)的圖形
18.2 復(fù)變函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)
18.2.1 復(fù)變函數(shù)的極限
18.2.2 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
18.2.3 解析函數(shù)
18.3 復(fù)變函數(shù)的積分與留數(shù)定理
18.3.1 非閉合路徑的積分計(jì)算
18.3.2 閉合路徑的積分計(jì)算
18.4 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)
18.4.1 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂及其收斂半徑
18.4.2 單變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開
18.4.3 多變量函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開
18.5 傅里葉變換及其逆變換
18.5.1 傅里葉積分變換
18.5.2 傅里葉逆變換
18.6 拉普拉斯變換及其逆變換
18.6.1 拉普拉斯變換
18.6.2 拉普拉斯逆變換
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第19章 數(shù)學(xué)物理方程的計(jì)算機(jī)仿真求解
19.1 用偏微分方程工具箱求解偏微分方程
19.1.1 用ＧＵＩ解ＰＤＥ問題
19.1.2 計(jì)算結(jié)果的可視化
19.2 計(jì)算機(jī)仿真編程求解偏微分方程
19.2.1 雙曲型：波動(dòng)方程的求解
19.2.2 拋物型：熱傳導(dǎo)方程的求解
19.2.3 橢圓型：穩(wěn)定場方程的求解
19.2.4 點(diǎn)源泊松方程的適應(yīng)解
19.2.5 亥姆霍茲方程的求解
19.3 定解問題的計(jì)算機(jī)仿真顯示
19.3.1 波動(dòng)方程解的動(dòng)態(tài)演示
19.3.2 熱傳導(dǎo)方程解的分布
19.3.3 泊松方程解的分布
19.3.4 格林函數(shù)解的分布
19.3.5 本征值問題中本征函數(shù)的分布
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第20章 特殊函數(shù)的計(jì)算機(jī)仿真應(yīng)用
20.1 連帶勒讓德函數(shù)、勒讓德函數(shù)、球函數(shù)
20.1.1 連帶勒讓德函數(shù)
20.1.2 勒讓德多項(xiàng)式
20.1.3 球函數(shù)
20.1.4 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)圖形
20.2 貝塞爾函數(shù)（柱函數(shù)）
20.2.1 貝塞爾函數(shù)
20.2.2 虛宗量貝塞爾函數(shù)
20.2.3 球貝塞爾函數(shù)的圖形
20.2.4 平面波用柱面波形式展開
20.2.5 定解問題的圖形顯示
20.3 其他特殊函數(shù)
計(jì)算機(jī)仿真編程實(shí)踐
第四篇綜合測試題
參考文獻(xiàn)