廣義Ball曲線曲面的幾何造型研究

　　在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，定義在千變?nèi)f化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的自由曲線曲面存在著千變?nèi)f化的形式，而廣義Ball曲線曲面則是其中一種在曲線求值及升降階的計(jì)算速度方面明顯優(yōu)于Bezier曲線的曲線曲面。本文主要是基于不同形式曲線曲面之間的轉(zhuǎn)換，并結(jié)合區(qū)間（圓域）算法、曲線曲面的降階等問(wèn)題，對(duì)廣義Ball曲線曲面幾何造型的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了較深入的研究。研究成果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1．在wsGB基函數(shù)的對(duì)偶基的基礎(chǔ)上，得到了wsGB曲線與Bezier曲線之間的互換關(guān)系式，同時(shí)也就得到了Bezier曲線與Said-Ball曲線、wang-Ball曲線之間的互換。另外，還給出了一種wsGB曲線的顯式細(xì)分算法，從而避免了轉(zhuǎn)換成冪基及求逆的過(guò)程。還給出了幾個(gè)相關(guān)的組合恒等式以及冪函數(shù)在wSGB基下的Marsden恒等式。同時(shí)，由wSGB基與Bernstein基之間的轉(zhuǎn)換公式，還給出了wsGB曲線的包絡(luò)算法（幾何生成算法）。2．劉松濤和劉根洪（〔劉96〕）、鄔弘毅（〔鄔98〕）曾分別利用菱形算法與直接展開(kāi)法給出了三角域上Said—Ball曲面與B∈zier曲面之間的轉(zhuǎn)換公式。而本文通過(guò)引入一族三角域上帶位置參數(shù)H的廣義Ball基和廣義Ball曲面，利用相鄰兩曲面的基函數(shù)之間的關(guān)系，給出三角域上said—Ball曲面與B∈zier曲面之間互相轉(zhuǎn)換的遞歸算法。該算法計(jì)算量小，編程簡(jiǎn)單，更有助于廣義Ball曲面的推廣應(yīng)用。最后還在計(jì)算復(fù)雜性方面與〔劉96〕的菱形算法與〔鄔98〕的直接展開(kāi)法這兩種不同的算法進(jìn)行了比較。3．目前，Bezier曲線曲面降多階方法中多采用求逆矩陣的方法得到逼近曲線的控制點(diǎn)表達(dá)式，這無(wú)疑會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的復(fù)雜性。Tchebyshev多項(xiàng)式的最小零偏差性質(zhì)在研究曲線曲面降階時(shí)起到了非常重要的作用，有鑒于此，本文給出了Tchebyshev多項(xiàng)式與Bernstein基函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換遞推算法，將其應(yīng)用于Bezier曲線曲面的降階處理，避免了求近似最佳一致逼近曲線時(shí)需要求逆矩陣的麻煩，且該算法穩(wěn)定、計(jì)算量小。4．給出了區(qū)間said—Ball曲線的邊界表示，并分別用線性規(guī)劃法及最佳一致逼近法討論了區(qū)間Ball曲線的降階算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，用最佳一致逼近法效果顯然比線性規(guī)劃法好。若利用線性規(guī)劃法得到的區(qū)問(wèn)曲線不能達(dá)到預(yù)期的誤差，則可以先對(duì)曲線在t=1／2處做細(xì)分，再逐段用線性規(guī)劃法降階，而且用線性規(guī)劃法對(duì)n（n≥3）次區(qū)間Ball曲線降階時(shí)。降階后的曲線必定插值端點(diǎn)，而利用最佳一致逼近法則不一定，若要實(shí)現(xiàn)插值端點(diǎn)，則必須增加約束條件。5．討論了圓域said—Ball曲線的降階問(wèn)題。首先給出圓域said—Ball曲線的定義，討論了圓域Said—Ball曲線的相關(guān)性質(zhì)，在提出圓域Said—Ball曲線的降階問(wèn)題后，主要利用最佳一致逼近法給出一般的降階和保端點(diǎn)插值的降階算法。當(dāng)降階算法不能達(dá)到預(yù)期效果時(shí)，我們同樣可以采用先對(duì)圓域said—Ball曲線細(xì)分的方法再分段進(jìn)行降階。6．給出了wSGB曲線兩種不同的降階算法，即：擾動(dòng)法和最佳一致逼近法；給出了兩種方法所得降階曲線與原曲線的逼近誤差與相對(duì)逼近誤差，并通過(guò)實(shí)例對(duì)兩種降階算法進(jìn)行了比較。

　　江平，女，1972年10月生，博士，副教授。1995年畢業(yè)于華東師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，獲學(xué)士學(xué)位；2005年畢業(yè)于合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，獲理學(xué)碩士學(xué)位；2006年合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)應(yīng)用與技術(shù)專(zhuān)業(yè)博士畢業(yè)，獲工學(xué)博士學(xué)位。目前從事的主要研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)應(yīng)用。主持完成了合肥工業(yè)大學(xué)科學(xué)研究發(fā)展基金項(xiàng)目，目前還承擔(dān)安徽省高等學(xué)校青年教師資助科研計(jì)劃1項(xiàng)，參加了國(guó)家自然科學(xué)基金和安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目等多個(gè)項(xiàng)目的研究工作。近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外重要學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文10余篇。其中2篇被SOI收錄，7篇被日收錄。