工程數學：復變函數

引言
第一章 復數和復變函數及其極限
1-1 復數及其運算
一. 復數的概念及其表示法
二. 復數的代數運算
三. 擴充復平面與復球面
習題一
習題答案
1-2 復平面上曲線和區(qū)域
一. 復平面上曲線方程的各種表示
二. 簡單曲線與光滑曲線
三. 平面點集與區(qū)域
習題二
習題答案
1-3 復變函數與整線性映射
一. 復變函數的概念
二. 復映射--復變函數的幾何意義
三. 整線性映射及其保圓性
習題三
習題答案
1-4 復變函數的極限和連續(xù)
一. 復變函數的極限
二. 復變函數的連續(xù)性
習題四
習題答案
第二章 解析函數
2-1 復變函數的導數
一. 導數的概念及其求導法則
二. 微分的定義及其可微的充要條件
習題一
習題答案
2-2 函數的解析性和指數函數
一. 函數解析的概念和充要條件
二. 解析函數的運算性質
三. 指數函數exp z =ez
習題二
習題答案
2-3 初等解析函數
一. 對數函數
二. 冪函數
三. 三角函數和雙曲函數
四. 反三角函數和反雙曲函數
習題三
習題答案
第三章 復積分
3-1 復積分的概念及其性質
一. 復變函數積分的概念
二. 復積分的存在性及其一般計算公式
三. 復積分的簡單性質
習題一
習題答案
3-2 積分與其路徑的無關性
一. 復積分與其積分路徑無關的條件
二. 解析函數的原函數和在積分計算中的應用
三. 復閉路定理和閉路變形原理
習題二
習題答案
3-3 Cauchy積分公式和高階導數公式
一. 解析函數的Cauchy積分公式
二. 解析函數的高階導數定理
三. 解析函數的實部和虛部與調和函數
習題三
習題答案
3-4 平面調和場及其復勢
一. 平面向量場的旋度和散度與平面調和場
二. 平面調和場的復勢及其有關等式
三. 平面流速場和靜電場的復勢求法及其應用
習題四
習題答案
第四章 復級數
4-1 復數項級數和冪級數
一. 復數列的收斂性及其判別法
二. 復數項級數的收斂性及其判別法
三. 冪級數及其收斂半徑
四. 冪級數的運算性質
習題一
習題答案
4-2 Taylor級數
一. 有關逐項積分的兩個引理
二. Taylor級數展開定理
三. 基本初等函數的Taylor級數展開式
四. 典型例題及其說明
習題二
習題答案
4-3 Laurent級數
一. Laurent級數展開定理
二. Laurent級數的性質
三. 用Laurent級數展開式計算積分
習題三
習題答案
第五章 留數及其應用
5-1 函數的孤立奇點及其分類
一. 函數孤立奇點的概念和分類
二. 函數各類孤立奇點的充要條件
三. 用函數的零點判別極點的類型
四. 函數在無窮遠點的性態(tài)
習題一
習題答案
5-2 留數和留數定理
一. 留數的定義和計算
二. 留數定理
三. 函數在無窮遠點處的留數
習題二
習題答案
5-3 留數在定積分計算中的應用
一. 形如Il= 的積分
二. 形如I2= 的積分
三. 形如I3= 的積分
習題三
習題答案
5-4 輻角原理及其應用
一. 對數留數
二. 輻角原理
三. Rouche''定理
習題四
習題答案
第六章 保角映射
6-1 保角映射的概念
一. 曲線的切線方向和兩條曲線的夾角
二. 解析函數導數的幾何意義
三. 保角映射的概念和定理
習題一
習題答案
6-2 分式線性映射及其性質
一. 在擴充復平面上的保圓性
二. 在擴充復平面保持交比的不變性
三. 對擴充復平面上圓周的保對稱性
四. 對有向圓周和直線的保側性
五. 三種特殊的分式線性映射
習題二
習題答案
6-3 幾個初等函數所構成的映射
一. 對數映射w=lnz和指數映射w=ez
二. 冪映射w=zn及其逆映射 n=2, 3, …
三. 儒可夫斯基 H. E. yKOBCKHH 函數
習題三
習題答案
6-4 保角映射幾個一般性定理及其應用
一. 保角映射的幾個一般性定理
二. Schwarz-Christoffel映射--多角形映射
三. 用保角映射解Laplace方程邊值問題
習題四
習題答案
參考文獻和推薦參考書